Domínios isospectrais e a lei de Weyl

Abstract

O som produzido por um tambor é determinado através de um conjunto de frequências vibracionais. Essas frequências chamadas de autovalores dependem da forma do tambor. Conhecendo os autovalores será possível determinar o formato de um tambor? Em outras palavras, será que pode-se ouvir a forma de um tambor? Essa pergunta foi colocada por Mark Kac(KAC) em 1966 e foi um problema que levou uma boa quantidade de anos para ser resolvido. Um resultado relevante provado mais cedo foi de que pode-se ouvir a área de um tambor. Em 1910 o grande físico H. A. Lorentz deu cinco palestras sob o título geral: “Velhos e novos problemas da Física" - e no final da quarta palestra, ele mostrou um problema em aberto, que em nossos termos dita uma relação entre os autovalores e a área de um tambor. Há um relatório que Hilbert previu que esse problema não seria resolvido em seu tempo de vida. Mas ele estava muito enganado, em menos de dois anos, Hermann Weyl(WEYL), que estava presente na palestra de Lorentz, prova o problema, o qual ficou conhecido por Lei de Weyl. O objetivo deste trabalho é provar a Lei de Weyl e dar um contraexemplo para o problema posto por Mark Kac.