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Title in Portuguese: Problema de Plateau para superfícies mínimas com um fim tipo catenóide
Title: Plateau problem for minimum surfaces with a catenoid type end
Author: Araújo, Antônio Cláudio Veras de
Advisor(s): Jorge, Luquésio Petrola de Melo
Keywords: Superfícies mínimas
Minimal surfaces
Issue Date: Dec-1996
Citation: ARAUJO, Antonio Claudio Veras. Problema de Plateau para superfícies mínimas com um fim tipo catenóide. 1996. 30 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 1996.
Abstract in Portuguese: O estudo de superfícies Mínimas, tem uma longa e rica história, datando dos primórdios do cálculo das variações e tomando impulso a partir dos experimentos do físico belga J. Plateau em 1847. Ele mostrou que pelas leis da tensão superficial, o filme de sabão formado pelo mergulho de um contorno fechado de arame em uma solução de sabão, representa uma superfície a qual é estável com relação a área. Isto é, sob a mínima deformação, o filme sempre torna-se maior. Este problema representou um grande desafio, pelo seu contraste entre a simplicidade de ser estabelecido e a dificuldade da solução: encontrar uma superfície G de menor área tendo como franteira uma curva de Jordan dada. A solução matemática deste problema em dimensão dois, foi dada independentemente em 1930 e 1931 por T. Radó e J. Douglas para uma curva de Jordan retificável no espaço euclidiano. A superfície mínima que eles obtiveram era realizada por uma aplicação harmônica conforme definida no disco unitário. Em 1940, R. Courant resolveu este mesmo problema para superfícies mínimas de tipos topológicos diferentes. Em 1948 Morrey provou o teorema de Douglas e Radó em uma variedade riemanniana homogeneamente regular. Uma questão natural consiste em saber se toda curva de Jordan também limita um "anel infinito" de área minima, isto é, uma superfície de menor área do tipo conforme do disco unitário menos um ponto a qual se estende para o infinito. Este é o Problema exterior de Plateau. Em 1989 Friedrich Tomi e Rugang Ye em [2] mostraram que toda curva de Jordan retificável em R3 limita uma imersão mínima de um anel, a qual se estende para o infinito e tem um fim plano, isto é, fora de alguma bola a superfície é o gráfico de uma função limitada, definida em algum domínio assintotando um plano no infinito. Neste trabalho resolveremos o problema correspondente para superfícies com fim tipo catenóide, o que significa que no infinito a superfície é o gráfico de uma função logarítima crescente, e portanto assemelha-se a forma de um meio catenóide.
Abstract: The study of Minimal surfaces has a long and rich history, dating back to the beginnings of calculus of variations and taking momentum from the experiments of the Belgian physicist J. Plateau in 1847. He showed that by the laws of surface tension, the soap film formed by dipping a closed wire contour into a soap solution, represents a surface which is stable with respect to the area. That is, under minimal distortion, the film always becomes larger. This problem represented a great challenge because of its contrast between the simplicity of being established and the difficulty of the solution: to find a surface G of smaller area having a given Jordan curve. The mathematical solution of this problem in dimension two was given independently in 1930 and 1931 by T. Radó and J. Douglas for a Jordan curve rectifiable in Euclidean space. The minimum surface that they obtained was realized by a harmonic application as defined in the unit disc. In 1940, R. Courant solved this same problem for minimum surfaces of different topological types. In 1948 Morrey proved Douglas and Radó's theorem in a homogeneously regular Riemannian manifold. A natural question is whether every Jordan curve also limits an infinite "ring of minimum area," ie, a smaller area of ​​the conformal type of the unit disc minus one point which extends to infinity. This is Plateau's Outer Problem. In 1989 Friedrich Tomi and Rugang Ye in [2] showed that any rectifiable Jordan curve in R3 limits a minimal immersion of a ring, which extends to infinity and has a flat end, ie, outside some ball surface is the graph of a limited function, defined in some domain by assonting a plane at infinity. In this work we will solve the corresponding problem for surfaces with catenode type end, which means that in infinity the surface is the graph of a growing logarithmic function, and therefore resembles the form of a catenoid medium.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/32269
metadata.dc.type: Dissertação
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